Hypergeometriska funktionen 2 F 1 (a ,b ;c ;z ) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.
Hypergeometriska funktionen definieras för |z | < 1 som serien
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
)
n
(
b
)
n
(
c
)
n
z
n
n
!
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}.}
Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x )n Pochhammersymbolen
(
x
)
n
=
{
1
n
=
0
x
(
x
+
1
)
⋯
(
x
+
n
−
1
)
n
>
0.
{\displaystyle (x)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\x(x+1)\cdots (x+n-1)&n>0.\end{cases}}}
Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är
ln
(
1
+
z
)
=
z
2
F
1
(
1
,
1
;
2
;
−
z
)
(
1
−
z
)
−
a
=
2
F
1
(
a
,
1
;
1
;
z
)
arcsin
(
z
)
=
z
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
3
2
;
z
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+z)&=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)\\(1-z)^{-a}&=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)\\\arcsin(z)&=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right).\end{aligned}}}
Legendrepolynomen är också specialfall:
2
F
1
(
a
,
1
−
a
;
c
;
z
)
=
Γ
(
c
)
z
1
−
c
2
(
1
−
z
)
c
−
1
2
P
−
a
1
−
c
(
1
−
2
z
)
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z).}
Meixner–Pollaczekpolynomen :
P
n
(
λ
)
(
x
;
ϕ
)
=
(
2
λ
)
n
n
!
e
i
n
ϕ
2
F
1
(
−
n
,
λ
+
i
x
;
2
λ
;
1
−
e
−
2
i
ϕ
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}(-n,\lambda +ix;2\lambda ;1-e^{-2i\phi }).}
Flera viktiga ortogonala polynom , såsom Jacobipolynomen , kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:
2
F
1
(
−
n
,
α
+
1
+
β
+
n
;
α
+
1
;
x
)
=
n
!
(
α
+
1
)
n
P
n
(
α
,
β
)
(
1
−
2
x
)
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x).}
Ofullständiga betafunktionen B x p ,q ):
B
x
(
p
,
q
)
=
x
p
p
2
F
1
(
p
,
1
−
q
;
p
+
1
;
x
)
{\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}
Elliptiska integraler:
K
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
k
2
)
{\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}
E
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
−
1
2
,
1
2
;
1
;
k
2
)
.
{\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a , b , c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om
τ
=
i
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
1
−
z
)
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
z
)
{\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z\right)}{{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z\right)}}}
är
z
=
κ
2
(
τ
)
=
θ
2
(
τ
)
4
θ
3
(
τ
)
4
{\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}
en elliptisk modulär funktion av τ.
Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:
e
x
=
lim
n
→
∞
F
(
1
,
n
;
1
;
x
n
)
{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }F(1,n;1;{x \over n})}
cos
x
=
lim
a
,
b
→
∞
F
(
a
,
b
;
1
2
;
−
x
2
4
a
b
)
{\displaystyle \cos x=\lim _{a,\;b\to \infty }F\left(a,b;{\frac {1}{2}};-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)}
cosh
x
=
lim
a
,
b
→
∞
F
(
a
,
b
;
1
2
;
x
2
4
a
b
)
{\displaystyle \cosh x=\lim _{a,\;b\to \infty }F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\right)}
Om B är betafunktionen är
B
(
b
,
c
−
b
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
∫
0
1
x
b
−
1
(
1
−
x
)
c
−
b
−
1
(
1
−
z
x
)
−
a
d
x
ℜ
(
c
)
>
ℜ
(
b
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0}
om |z | < 1 eller |z | = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx )−a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.
Eulers transformation är
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
c
−
a
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
c
−
b
;
c
;
z
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)}
som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
b
2
F
1
(
b
,
c
−
a
;
c
;
z
z
−
1
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
2
F
1
(
a
,
c
−
b
;
c
;
z
z
−
1
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}
som igen följer ur Eulers integralrepresentation.
En kvadratisk transformation är
F
(
a
,
b
;
2
b
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
2
F
(
1
2
a
,
b
−
1
2
a
;
b
+
1
2
;
z
2
4
z
−
4
)
.
{\displaystyle F(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}F\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right).}
En kubisk transformation är
F
(
3
2
a
,
1
2
(
3
a
−
1
)
;
a
+
1
2
;
−
z
2
3
)
=
(
1
+
z
)
1
−
3
a
F
(
a
−
1
3
,
a
,
2
a
,
2
z
(
3
+
z
2
)
(
1
+
z
)
−
3
)
.
{\displaystyle F\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}F\left(a-{\tfrac {1}{3}},a,2a,2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right).}
Gauss sats är
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
1
)
=
Γ
(
c
)
Γ
(
c
−
a
−
b
)
Γ
(
c
−
a
)
Γ
(
c
−
b
)
,
ℜ
(
c
)
>
ℜ
(
a
+
b
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}
som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation.
Kummers sats är
2
F
1
(
a
,
b
;
1
+
a
−
b
;
−
1
)
=
Γ
(
1
+
a
−
b
)
Γ
(
1
+
1
2
a
)
Γ
(
1
+
a
)
Γ
(
1
+
1
2
a
−
b
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}
som följer ur Kummers kvadratiska transformationer
2
F
1
(
a
,
b
;
1
+
a
−
b
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
2
F
1
(
a
2
,
1
+
a
2
−
b
;
1
+
a
−
b
;
−
4
z
(
1
−
z
)
2
)
=
(
1
+
z
)
−
a
2
F
1
(
a
2
,
a
+
1
2
;
1
+
a
−
b
;
4
z
(
1
+
z
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten.
Gauss andra sats är
2
F
1
(
a
,
b
;
1
2
(
1
+
a
+
b
)
;
1
2
)
=
Γ
(
1
2
)
Γ
(
1
2
(
1
+
a
+
b
)
)
Γ
(
1
2
(
1
+
a
)
)
Γ
(
1
2
(
1
+
b
)
)
.
{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}
Baileys sats är
2
F
1
(
a
,
1
−
a
;
c
;
1
2
)
=
Γ
(
1
2
c
)
Γ
(
1
2
(
1
+
c
)
)
Γ
(
1
2
(
c
+
a
)
)
Γ
(
1
2
(
1
+
c
−
a
)
)
.
{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}
27
(
z
−
1
)
2
⋅
2
F
1
(
1
4
,
3
4
;
2
3
;
z
)
8
+
18
(
z
−
1
)
⋅
2
F
1
(
1
4
,
3
4
;
2
3
;
z
)
4
−
8
⋅
2
F
1
(
1
4
,
3
4
;
2
3
;
z
)
2
=
1
{\displaystyle 27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{2}=1}
Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande:
2
F
1
(
1
4
,
3
4
;
2
3
;
1
3
)
=
1
4
2
−
4
3
+
4
3
+
4
−
2
−
4
3
−
2
.
{\displaystyle _{2}F_{1}\left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}};\,{\frac {2}{3}};\,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {{\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}.}
Gauss kedjebråk är
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
+
1
;
z
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
1
1
+
(
a
−
c
)
b
c
(
c
+
1
)
z
1
+
(
b
−
c
−
1
)
(
a
+
1
)
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
z
1
+
(
a
−
c
−
1
)
(
b
+
1
)
(
c
+
2
)
(
c
+
3
)
z
1
+
(
b
−
c
−
2
)
(
a
+
2
)
(
c
+
3
)
(
c
+
4
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
![{\displaystyle _{2}F_{1}\left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}};\,{\frac {2}{3}};\,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {{\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e0385fd046b0973fee04689c0222c4ec74014d)
