Hardys olikhet

Hardys olikhet är en matematisk olikhet uppkallad efter Godfrey Harold Hardy som säger att om $a_{1},a_{2},a_{3},...$ är en talföljd av icke-negativa tal med något element skilt från noll gäller det att:

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+...+a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}^{p}$

för varje positivt reellt tal $p>1$.

En integralversion av Hardys olikhet säger att om f är en integrerbar funktion med icke-negativa värden gäller:

$\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)dt\right)^{p}dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}dx$

med likhet om och endast om $f(x)=0$ nästan överallt.

Se även

• Carlemans olikhet